Exercice 26, § 7

a) Soient E un espace localement convexe séparé, C un ensemble convexe dans E, A un chapeau de C. Si $s \in C$ est un point n’appartenant pas à A, B le cône de sommet s engendré par A, montrer que l’adhérence de $B \cap (C \cap \complement A)$ est un chapeau dans B. b) Supposons que E soit de dimension finie. Montrer que tout chapeau A dans un ensemble convexe fermé C de E s’obtient de la façon suivante : on considère une facette F de C (II, p. 92, exerc. 3), un hyperplan H dans la variété linéaire affine V engendrée par F, tel que F soit tout entier d’un même côté de H, et on prend pour A l’ensemble des points de F compris entre H et un hyperplan H’ de F parallèle à H (utiliser $a$) et la prop. 4 de II, p. 41). Tout point extrémal d’une facette de C est un point extrémal de C. c) Donner un exemple d’ensemble convexe compact C dans un espace localement convexe séparé E et d’un chapeau A de C tel que A et C $\cap \complement A$ engendrent chacun E et que A et C $\cap \complement A$ ne puissent être séparés par un hyperplan fermé de E ($cf.$ II, p. 83, exerc. 11).