Bài tập 26, § 7

a) Cho $E$ là một không gian lồi địa phương Hausdorff và cho $A$ là một mũ của một tập hợp lồi $C$ trong $E$. Nếu $s \in C$ là một điểm không thuộc $A$ và nếu $B$ là nón có đỉnh $s$ sinh bởi $A$, hãy chứng minh rằng bao đóng của $B \cap (C \cap \complement A)$ là một mũ trong $B$. *b) Giả sử rằng $E$ là hữu hạn chiều. Chứng minh rằng mọi mũ $A$ của một tập hợp lồi đóng $C$ trong $E$ đều có thể thu được theo cách sau đây: xét một mặt $F$ của $C$ (II, p. 87, bài tập 3) và một siêu phẳng $H$ trong đa tạp tuyến tính affine $V$ sinh bởi $F$, sao cho $F$ hoàn toàn nằm về một phía của $H$, lấy làm $A$ tập hợp các điểm của $F$ được chứa giữa $H$ và một siêu phẳng $H'$ của $F$ song song với $H$ (dùng a) và Mệnh đề 4 của II, p. 38). Mọi điểm cực biên của một mặt của $C$ là một điểm cực biên của $C$. c) Hãy cho một ví dụ về một tập hợp lồi compact $C$ trong một không gian lồi địa phương Hausdorff $E$ và một mũ $A$ của $C$ sao cho $A$ và $C \cap \complement A$ mỗi tập đều sinh $E$ và $A$ và $C \cap \complement A$ không thể được phân tách bởi một siêu phẳng đóng của $E$ (cf.* II, p. 78, bài tập 11).