Exercice 31, § 7

Soient X l’intervalle compact $[0, 1]$ de $\mathbf{R}$, $\Phi$ l’ensemble formé des fonctions numériques continues dans X et des fonctions $t \mapsto |t - a|^{-\alpha}$, où $a \in X$ et $0 < \alpha < 1$ (on pose $0^{-\alpha} = + \infty$ pour $\alpha > 0$). Dans l’espace $\mathscr{M}(X)$ des mesures sur X, soit $\mathscr{M}_\Phi^+$ l’ensemble des mesures $\mu \geqslant 0$ telles que toutes les fonctions de $\Phi$ soient $\mu$-intégrables. a) On munit $\mathscr{M}_\Phi^+$ de la structure uniforme induite par la structure produit de $\mathbf{R}^\Phi$. Montrer que $\mathscr{M}_\Phi^+$ est un cône convexe saillant et complet pour cette structure uniforme. (Noter que pour toute fonction $f \in \Phi$ il existe $g \in \Phi$ telle que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $u \in \mathscr{C}(X ; \mathbf{R})$ telle que $0 \leqslant f - u \leqslant \varepsilon g$.)

b) Montrer que le cône $\mathscr{M}_\Phi^+$ n’a aucune génératrice extrémale. (Observer que si $\mu \in \mathscr{M}_\Phi^+$, toutes les mesures $\lambda$ telles que $0 \leq \lambda \leq \mu$ appartiennent à $\mathscr{M}_\Phi^+$.) c) Montrer que l’ensemble S des $\mu \in \mathscr{M}_\Phi^+$ telles que $\mu(1) = 1$ est une semelle du cône $\mathscr{M}_\Phi^+$ et un simplexe dans $\mathbf{R}^\Phi$ (II, p. 76, exerc. 41).