Bài tập 31, § 7

Cho $X$ là khoảng compact $[0, 1]$ của $\mathbf{R}$ và $\Phi$ là tập hợp được tạo thành từ các hàm thực liên tục xác định trên $X$ và các hàm $t \mapsto |t - a|^{-\alpha}$, trong đó $a \in X$ và $0 < \alpha < 1$ (ta đặt $0^{-\alpha} = + \infty$ với $\alpha > 0$). Trong không gian $\mathscr{M}(X)$ các độ đo trên $X$, cho $\mathscr{M}_\Phi^+$ là tập hợp các độ đo $\mu \geq 0$ sao cho mọi hàm của $\Phi$ đều $\mu$-khả tích. a) Trang bị cho $\mathscr{M}_\Phi^+$ cấu trúc đều cảm sinh bởi cấu trúc tích của $\mathbf{R}^\Phi$. Chứng minh rằng $\mathscr{M}_\Phi^+$ là một nón thực sự lồi đầy đủ đối với cấu trúc đều này. (Chú ý rằng với mỗi hàm $f \in \Phi$ tồn tại $g \in \Phi$ sao cho, với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại $u \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ sao cho $0 \leq f - u \leq \varepsilon g$.) b) Chứng minh rằng nón $\mathscr{M}_\Phi^+$ không có phần tử sinh cực biên. (Nhận xét rằng nếu $\mu \in \mathscr{M}_\Phi^+$, thì mọi độ đo $\lambda$ sao cho $0 \leq \lambda \leq \mu$ đều thuộc $\mathscr{M}_\Phi^+$.) c) Chứng minh rằng tập hợp $S$ gồm các $\mu \in \mathscr{M}_\Phi^+$ sao cho $\mu(1) = 1$ là một lát của nón $\mathscr{M}_\Phi^+$ và là một simplex trong $\mathbf{R}^\Phi$ (II, p. 71, exerc. 41). \*