Exercice 38, § 7

Soient E un espace localement convexe séparé, X un ensemble convexe compact dans E. On désigne par $\mathscr{A}(X)$ l’ensemble des fonctions affines continues dans X (non nécessairement restrictions à X de fonctions affines continues dans E, cf. II, p. 83, exerc. 11). Pour toute fonction numérique $f$, majorée dans X, on pose, pour tout $x \in X$, $\tilde{f}(x) = \inf_{h} (h(x))$ où h parcourt l’ensemble des fonctions de $\mathscr{A}(X)$ telles que $h \geqslant f$. a) Montrer que $\tilde{f}$ est une fonction concave semi-continue supérieurement. Si $f$ est elle-même concave et semi-continue supérieurement, on a $\tilde{f} = f$ (cf. II, p. 42, prop. 5). b) On suppose $f$ semi-continue supérieurement. Montrer que $\tilde{f}$ est l’enveloppe inférieure des fonctions $\tilde{g}$, où $g$ parcourt un ensemble de fonctions continues dans X dont $f$ soit l’enveloppe inférieure. c) Pour tout $x \in X$, on note $\mathscr{M}_x$ l’ensemble des familles finies $\mu = ((\mu_j, x_j))$ où les $x_j$ sont des points de X, les $\mu_j$ des nombres $\geqslant 0$ vérifiant $\sum_j \mu_j = 1$, tels que $x = \sum_j \mu_j x_j$. Pour toute fonction numérique $f$ majorée dans X, on pose $f'(x) = \sup_{\mu \in \mathscr{M}_x} \sum_j \mu_j f(x_j)$ pour tout $x \in X$. Montrer que $f'$ est une fonction concave dans X et que l’on a $f' \leqslant \tilde{f}$. d) On suppose que $f$ est continue dans X. Étant donné $\varepsilon > 0$, soit $(U_k)_{1 \leqslant k \leqslant N}$ un recouvrement de X par des ouverts convexes tels que les relations $x \in U_k, y \in U_k$ entraînent l’inégalité $|f(x) - f(y)| \leqslant \varepsilon$. On pose $A_1 = U_1$ et, pour $k > 1$, $A_k = U_k \cap \bigcup (U_1 \cup U_2 \cup ... \cup U_{k-1})$. Montrer que, pour tout $x \in X$, il existe une famille $\mu = ((\mu_k, x_k))$ de $\mathbf{N}$ termes appartenant à $\mathscr{M}_x$, avec $x_k \in U_k$ pour $1 \leqslant k \leqslant N$, telle que $\sum_k \mu_k f(x_k) \geqslant f'(x) - 2\varepsilon$ (si l’on a l’inégalité $\sum_j \lambda_j f(y_j) \geqslant f'(x) - \varepsilon$, grouper les $y_j$ appartenant à un même $A_k$). e) Déduire de d) que lorsque $f$ est continue, $f'$ est semi-continue supérieurement et $f' = \tilde{f}$. (Si $\mathscr{U}$ est un ultrafiltre sur X plus fin que le filtre des voisinages d’un point $x \in X$ et si $f'(y) \geqslant r$ pour tous les points $y$ d’un ensemble appartenant à $\mathscr{U}$, montrer que $f'(x) \geqslant r - 2\varepsilon$, en faisant correspondre à tout $y$ une famille $\mu_y \in \mathscr{M}_y$ satisfaisant à la condition de d), et passant à la limite suivant $\mathscr{U}$.)