Bài tập 38, § 7

Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff và X là một tập hợp lồi compact trong E. Ký hiệu bởi $\mathscr{A}(X)$ tập hợp các hàm affine liên tục trên X (không nhất thiết là các hạn chế lên X của các hàm affine liên tục trên E, xem II, p. 78, bài tập 11). Với mọi hàm giá trị thực f bị chặn trên trong X, đặt $\tilde{f}(x) = \inf_h(h(x))$ với mọi x ∈ X, trong đó h biến thiên trong tập hợp các hàm thuộc $\mathscr{A}(X)$ sao cho $h \geq f$. a) Chứng minh rằng $\tilde{f}$ là một hàm lõm nửa liên tục trên. Nếu bản thân $f$ là nửa liên tục trên và lõm, thì $\tilde{f} = f$ (xem II, p. 39, mệnh đề 5).

b) Giả sử rằng $f$ là bán liên tục trên. Chứng minh rằng $\tilde{f}$ là bao dưới của hàm $\tilde{g}$, khi $g$ biến thiên trong một tập hợp các hàm liên tục trong $X$ mà $f$ là bao dưới. c) Với mọi $x \in X$, ký hiệu $\mathscr{M}_x$ là tập hợp các họ hữu hạn $\mu = ((\mu_j, x_j))$ trong đó các $x_j$ là các điểm của $X$, các $\mu_j$ là các số $\geqslant 0$ thỏa mãn $\sum \mu_j = 1$, sao cho $x = \sum \mu_j x_j$. Với mỗi hàm giá trị thực $f$ bị chặn trên trong $X$, đặt $f'(x) = \sup_{\mu \in \mathscr{M}_x} \sum \mu_j f(x_j)$ với mọi $x \in X$. Chứng minh rằng $f'$ là một hàm lõm trong $X$ và rằng $f' \leqslant \tilde{f}$. d) Giả sử rằng $f$ là liên tục trong $X$. Cho $\varepsilon > 0$, gọi $(U_k)_{1 \leq k \leq N}$ là một phủ của $X$ bởi các tập hợp mở lồi sao cho các quan hệ $x \in U_k, y \in U_k$ kéo theo bất đẳng thức $|f(x) - f(y)| \leq \varepsilon$. Đặt $A_1 = U_1$ và, với $k > 1$, $A_k = U_k \cap (\cup_{i=1}^{k-1} U_i)$. Chứng minh rằng, với mọi $x \in X$, tồn tại một họ $\mu = ((\mu_k, x_k))$ gồm N số hạng thuộc $\mathscr{M}_x$ với $x_k \in U_k$ với $1 \leq k \leq N$ sao cho $\sum_k \mu_k f(x_k) \geq f'(x) - 2\varepsilon$ (nếu ta có bất đẳng thức $\sum_j \lambda_j f'(y_j) \geq f'(x) - \varepsilon$, hãy nhóm các $y_j$ thuộc cùng một $A_k$ lại với nhau). e) Suy ra từ d) rằng khi $f$ liên tục thì $f'$ là bán liên tục trên và $f' = \tilde{f}$. (Nếu $\mathscr{U}$ là một siêu lọc trên $X$ mịn hơn lọc các lân cận của một điểm $x \in X$ và nếu $f'(y) \geq r$ với mọi điểm $y$ của một tập hợp thuộc về $\mathscr{U}$, hãy chứng minh rằng $f'(x) \geq r - 2\varepsilon$, bằng cách làm cho một họ $\mu_y \in \mathscr{M}_y$ tương ứng với mỗi $y$, thỏa mãn điều kiện d) và tiến tới giới hạn qua $\mathscr{U}$.)