Exercice 41, § 7

Soient E un espace localement convexe séparé, S un simplexe compact contenu dans E (II, p. 76, exerc. 41), $f$ une fonction minorée, convexe et semi-continue supérieurement, $g$ une fonction concave, semi-continue inférieurement et telle que $g \geq f$. a) Si l’on pose $u = \tilde{f}, v = -(-g)^{\sim}, u$ et $v$ sont des fonctions affines telles que $u \leq v$ (utiliser l’exerc. 39, b) et l’exerc. 40). b) Montrer qu’il existe une fonction affine $h$, continue dans X et telle que $f \leq h \leq g$ (th. de D. Edwards). (On peut remplacer $f$ par $u$ et $g$ par $v$. Construire trois suites $(u_m), (v_m), (h_m)$ de fonctions affines telles que dans X, $u_m$ soit semi-continue supérieurement, $v_m$ semi-continue inférieurement, $h_m$ continue et que l’on ait

Utiliser pour cela l’exerc. 29 de II, p. 86.)