Bài tập 41, § 7

Cho $S$ là một đơn hình compact được chứa trong một không gian lồi địa phương Hausdorff $E$ (II, p. 71 Bài tập 41), và $f$ là một hàm lồi nửa liên tục trên bị chặn dưới. Cho $g$ là một hàm nửa liên tục dưới là lõm và sao cho $g \geq f$. a) Nếu ta viết $u = \tilde{f}, v = -(-g)\tilde{f}$, thì $u$ và $v$ là các hàm affine sao cho $u \leq v$ (sử dụng Bài tập 39, b) và Bài tập 40). b) Chứng minh rằng tồn tại một hàm affine $h$, liên tục trong $X$ và sao cho $f \leq h \leq g$ (định lý của D. Edwards). (Ta có thể thay thế $f$ bởi $u$ và $g$ bởi $v$. Xây dựng ba dãy $(u_m), (v_m), (h_m)$ các hàm affine sao cho trong $X$, hàm $u_m$ là nửa liên tục trên, hàm $v_m$ là nửa liên tục dưới và hàm $h_m$ là liên tục và

Sử dụng Bài tập 29 của II, p. 81, cho việc này.)

EXERCISES