Exercice 6, § 7

Soient E, E’ deux espaces vectoriels en dualité séparante, A un ensemble convexe dans E contenant 0 et fermé pour $\sigma(E, E')$. Pour tout $a \in A$, l’ensemble $F'_a$ des points $x' \in A^\circ$ tels que $\langle a, x' \rangle = -1$ est une partie convexe fermée (pour $\sigma(E', E)$) de $A^\circ$. Montrer que $F'_a$ est la facette dans $A^\circ$ de chacun des points internes de $F'_a$ relativement à la variété linéaire engendrée par $F'_a$. On dit que $F'_a$ est la facette duale de a dans $A^\circ$. Si $F_a$ est la facette de a dans A, montrer que $F'_a$ est aussi la facette duale dans $A^\circ$ de chacun des points internes de $F_a$ relativement à la variété linéaire engendrée par $F_a$; en outre, si A est identifié à $A^{\circ\circ}$, la facette duale dans A de tout point interne de $F'_a$ relativement à la variété linéaire engendrée par $F'_a$ contient $F_a$. Lorsque $F'_a$ est non vide (ce qui est toujours le cas lorsque E est de dimension finie et $a \neq 0$, cf. II, p. 83, exerc. 13), on dit que $F_a$ et $F'_a$ sont des facettes duales l’une de l’autre.

On dit qu’un point $a \in A$ est point de lissité de A si $F'_a$ est réduit à un point (autrement dit s’il existe un et un seul hyperplan d’appui fermé de A passant par a); on dit que a est un point de stricte convexité s’il existe un hyperplan d’appui fermé H de A tel que $H \cap A = \{a\}$; il revient au même de dire qu’il existe un point interne de $F'_a$ (relativement à la variété linéaire engendrée par $F'_a$) qui est point de lissité de $A^\circ$.