Bài tập 6, § 7

Cho E, E' là hai không gian vectơ trong đối ngẫu tách biệt, và A là một tập hợp lồi trong E chứa 0 và đóng đối với $\sigma(E, E')$. Với mọi $a \in A$, tập hợp $F'_a$ gồm các điểm $x' \in A^\circ$ sao cho $\langle a, x' \rangle = -1$ là một tập hợp lồi, đóng (đối với $\sigma(E', E)$) của $A^\circ$. Chứng minh rằng $F'_a$ là mặt trong $A^\circ$ của mỗi điểm trong của $F'_a$ đối với đa tạp tuyến tính sinh bởi $F'_a$. Ta nói rằng $F'_a$ là mặt đối ngẫu của $a$ trong $A^\circ$. Nếu $F_a$ là mặt của $a$ trong A, chứng minh rằng $F'_a$ cũng là mặt đối ngẫu trong $A^\circ$ của mỗi điểm trong của $F_a$ đối với đa tạp tuyến tính sinh bởi $F_a$; hơn nữa, nếu A được đồng nhất với $A^{\circ\circ}$, mặt đối ngẫu trong $A$ của mỗi điểm trong của $F'_a$ đối với đa tạp tuyến tính sinh bởi $F'_a$, chứa $F_a$. Khi $F'_a$ không rỗng (điều này luôn đúng khi $E$ là hữu hạn chiều và $a \neq 0$, xem II, p. 78, bài tập 13), ta nói rằng mỗi tập hợp $F_a, F'_a$ là mặt đối ngẫu của tập hợp kia.

Ta nói rằng một điểm $a \in A$ là điểm trơn của A nếu $F'_a$ là một điểm duy nhất (nói cách khác nếu tồn tại một siêu phẳng tựa đóng của A chuyển qua $a$); ta nói rằng $a$ là một điểm lồi ngặt (hay là một điểm lộ ra) nếu tồn tại một siêu phẳng đóng $H$ tựa A sao cho $H \cap A = \{a\}$; điều này tương đương với việc nói rằng tồn tại một điểm trong của $F'_a$ (đối với một đa tạp tuyến tính sinh bởi $F'_a$) là một điểm trơn của $A^\circ$.