Exercice 8, § 7

Soient E un espace vectoriel de dimension finie n, A un ensemble convexe compact dans E. a) Soit H un hyperplan de E. Montrer que dans un demi-espace ouvert déterminé par H et contenant un point au moins de A, il existe un point de stricte convexité de A (II, p. 93, exerc. 6). (Considérer dans H une boule euclidienne fermée C de dimension $n - 1$ et de rayon assez grand, contenant $H \cap A$, puis les boules euclidiennes B de dimension $n$ et de plus grand rayon contenant A et telles que $B \cap H = C$.) b) Montrer que A est l’enveloppe fermée convexe de l’ensemble de ses points de stricte convexité (utiliser a)). c) Montrer que tout point extrémal de A est adhérent à l’ensemble des points de stricte convexité de A. (En utilisant b) ainsi que l’exerc. 9, a) de II, p. 70, remarquer qu’un point extrémal est limite d’une suite de points de la forme $\sum_{i=0}^{n} \lambda_{im} x_{im}$, où $\lambda_{im} \geq 0$, $\sum_{i=0}^{n} \lambda_{im} = 1$ et les $x_{im}$ sont des points de stricte convexité de A ; utiliser ensuite la compacité de A.)