Bài tập 8, § 7

Cho $E$ là một không gian vectơ số chiều hữu hạn $n$ và $A$ là một tập lồi compact trong $E$. a) Cho $H$ là một siêu phẳng trong $E$. Chứng minh rằng trong một nửa không gian mở được xác định bởi $H$ và chứa ít nhất một điểm của $A$, tồn tại một điểm lồi ngặt của $A$ (II, p. 87, exerc. 6). (Xét, trong $H$, một quả cầu Euclid đóng $C$ chiều $n - 1$ và có bán kính đủ lớn chứa $H \cap A$, rồi các quả cầu Euclid $B$ chiều $n$ và có bán kính lớn hơn chứa $A$ và sao cho $B \cap H = C$.) b) Chứng minh rằng $A$ là bao lồi đóng của tập hợp các điểm lồi ngặt (dùng a)). c) Chứng minh rằng mọi điểm cực biên của $A$ là một điểm tụ của tập hợp các điểm lồi ngặt của $A$. (Dùng b) và exerc. 9, a) của II, p. 66, chú ý rằng một điểm cực biên là giới hạn của một dãy các điểm có dạng $\sum_{i=0}^n \lambda_{im} x_{im}$, trong đó $\lambda_{im} \geq 0$, $\sum_{i=0}^n \lambda_{im} = 1$ và các $x_{im}$ là các điểm lồi ngặt của $A$; tiếp theo dùng tính compact của $A$.)