Exercice 3, § 2

Soient $E$ un espace localement convexe, $L$ un sous-espace vectoriel de $E$ de codimension finie, $S$ un ensemble convexe, équilibré et bornivore (III, p. 40, exerc. 11) dans $L$. On se propose de montrer qu’il existe un ensemble convexe, équilibré et bornivore $S'$ dans $E$ tel que $S = S' \cap L$. a) On peut se ramener au cas où $L$ est un hyperplan, de sorte que $E = L \oplus \mathbf{R} a$ pour un point $a \in L$, et où il existe dans $E$ une suite bornée $(x_n)$ telle que si l’on pose $x_n = \lambda_n (y_n + a)$ avec $\lambda_n \in \mathbf{R}$ et $y_n \in L$, $|\lambda_n|$ tend vers $+\infty$; si $B_0$ est l’enveloppe convexe équilibrée de l’ensemble formé de $a$ et des $x_n$, on a donc $y_n + a \in \lambda_n^{-1} B_0$ pour tout $n$. b) Soit $\mathscr{B}$ l’ensemble des parties bornées, convexes et équilibrées de $E$ qui contiennent $B_0$; par hypothèse, pour tout $B \in \mathscr{B}$, il existe $\rho_B > 0$ tel que $2\rho_B B \cap L \subset S$. Montrer que, si $R$ est l’enveloppe convexe équilibrée de la réunion des ensembles $\rho_B B$ pour $B \in \mathscr{B}$, on a $R \cap L \subset S$.