Bài tập 3, § 2

Gọi $E$ là một không gian lồi địa phương, $L$ là một không gian con vectơ của $E$ có đối chiều hữu hạn, và $S$ là một tập hợp lồi cân bằng bornivorous (III, p. 39, Bài tập 11) trong $L$. Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một tập hợp lồi, cân bằng và bornivorous $S'$ trong $E$ sao cho $S = S' \cap L$. a) Ta có thể rút gọn về trường hợp $L$ là một siêu phẳng sao cho $E = L \oplus \mathbf{R} a$ đối với một điểm $a \notin L$, và sao cho tồn tại một dãy bị chặn $(x_n)$ trong $E$ sao cho nếu ta đặt $x_n = \lambda_n (y_n + a)$ với $\lambda_n \in \mathbf{R}$ và $y_n \in L$, thì $|\lambda_n|$ tiến tới $+\infty$; nếu $B_0$ là bao lồi cân bằng của tập hợp gồm $a$ và các $x_n$, thì ta có $y_n + a \in \lambda_n^{-1} B_0$ với mọi $n$. b) Gọi $\mathscr{B}$ là tập hợp tất cả các tập con bị chặn, lồi, cân bằng của $E$ chứa $B_0$; theo giả thiết, với mọi $B \in \mathscr{B}$, tồn tại $\rho_B > 0$ sao cho $2\rho_B B \cap L \subset S$. Hãy chứng minh rằng nếu $R$ là bao lồi cân bằng của hợp của các tập hợp $\rho_B B$ với $B \in \mathscr{B}$, thì ta có** $R \cap L \subset S$.