Exercice 11, § 3

Soient T un espace topologique métrisable, E un espace vectoriel topologique qui est un espace de Baire, M un ensemble d’applications de $E \times T$ dans un espace vectoriel topologique F, satisfaisant aux deux conditions suivantes : 1° pour tout $t_0 \in T$, l’ensemble des applications $x \mapsto f(x, t_0)$, où $f$ parcourt M, est un ensemble équicontinu d’applications linéaires de E dans F ; 2° pour tout $x_0 \in E$, l’ensemble des applications $t \mapsto f(x_0, t)$ de T dans F, où $f$ parcourt M, est équicontinu. Montrer que M est équicontinu. (Étant donnés $t_0 \in T$ et un voisinage fermé équilibré V de 0 dans F, pour tout $x \in E$, soit $d_x$ la borne supérieure des rayons des boules ouvertes de centre $t_0$ dans T telles que, pour un point quelconque $t$ d’une telle boule, on ait $f(x, t) - f(x, t_0) \in V$ pour toute $f \in M$. Montrer que $x \mapsto d_x$ est semi-continue supérieurement en tout point $x_0 \in E$; pour cela, on montrera que si l’on avait $d_x > \alpha > d_{x_0}$ pour des points x arbitrairement voisins de $x_0$, alors, pour tout voisinage W de 0 dans F, $f(x_0, t) - f(x_0, t_0)$ appartiendrait à $V + W$ pour $d(t, t_0) \leq \alpha$ et $f \in M$. Utiliser enfin TG, IX, p. 56, th. 2).