Bài tập 11, § 3

Cho $T$ là một không gian tôpô mêtric hóa được, $E$ là một không gian vectơ tôpô là một không gian Baire, và $M$ là một họ các ánh xạ từ $E \times T$ vào một không gian vectơ tôpô $F$, thỏa mãn các điều kiện sau : 1° với mọi $t_0 \in T$, tập hợp tất cả các ánh xạ $x \mapsto f(x, t_0)$ khi $f$ chạy qua $M$, là một tập hợp các ánh xạ tuyến tính liên tục đều từ $E$ vào $F$; 2° với mọi $x_0 \in E$, tập hợp tất cả các ánh xạ $t \mapsto f(x_0, t)$ từ $T$ vào $F$, khi $f$ chạy qua $M$, là liên tục đều. Chứng minh rằng $M$ là liên tục đều. (Cho $t_0 \in T$ và một lân cận đóng cân bằng $V$ của 0 trong F, với mọi $x \in E$, gọi $d_x$ là cận trên của các bán kính của tất cả các quả cầu mở có tâm $t_0$ trong T sao cho, với một điểm tùy ý $t$ trong một trong các quả cầu này, ta có $f(x, t) - f(x, t_0) \in V$ với mọi $f \in M$. Chứng minh rằng $x \mapsto d_x$ là bán liên tục trên tại mọi điểm $x_0 \in E$; để làm điều này, chứng minh rằng nếu ta có $d_x > \alpha > d_{x_0}$ đối với các điểm tùy ý gần $x_0$, thì với mọi lân cận W của 0 trong F, $f(x_0, t) - f(x_0, t_0)$ sẽ thuộc $V + W$ với $d(t, t_0) \leq \alpha$ và $f \in M$. Cuối cùng dùng GT, IX, § 5, No. 4, đl. 2.)