Exercice 2, § 3

Soient $E$ et $F$ deux espaces localement convexes séparés, $\mathfrak{S}$ un ensemble de parties bornées de $E$. a) Montrer que si $F$ n’est pas réduit à 0, une condition nécessaire (et suffisante) pour que $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}}(E ; F)$ soit séparé est que la réunion des ensembles de $\mathfrak{S}$ soit totale dans $E$ (utiliser le th. de Hahn-Banach). b) On suppose que $\mathfrak{S}$ est un recouvrement de $E$. Montrer qu’il existe un isomorphisme de $F$ sur un sous-espace fermé de $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}}(E ; F)$. En déduire que, si $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}}(E ; F)$ est quasi-complet, $F$ est nécessairement quasi-complet. c) On suppose que $\mathfrak{S}$ est une bornologie adaptée à $E$ (III, p. 3, déf. 4). Pour que $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}}(E ; F)$ soit métrisable, il faut et il suffit que $F$ soit métrisable et qu’il existe une base (III, p. 1) dénombrable de la bornologie $\mathfrak{S}$. Pour que la $\mathfrak{S}$-topologie sur $\mathscr{L}(E ; F)$ puisse être définie par une seule norme, il faut et il suffit que la topologie de $F$ puisse être définie par une seule norme et qu’il existe un ensemble $M \in \mathfrak{S}$ qui absorbe tout ensemble de $\mathfrak{S}$.