Bài tập 2, § 3

Cho $E$ và $F$ là hai không gian lồi địa phương Hausdorff, và $\mathfrak{S}$ là một họ các tập con bị chặn của $E$. a) Chứng minh rằng nếu $F$ không chỉ là 0, thì một điều kiện cần (và đủ) để $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}} (E ; F)$ là Hausdorff là hợp của các tập hợp của $\mathfrak{S}$ là toàn phần trong $E$ (dùng định lý Hahn-Banach). b) Giả sử rằng $\mathfrak{S}$ là một phủ của $E$. Chứng minh rằng tồn tại một đẳng cấu từ $F$ lên một không gian con đóng của $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}} (E ; F)$. Suy ra rằng nếu $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}} (E ; F)$ là gần đầy đủ, thì $F$ nhất thiết là gần đầy đủ. c) Giả sử rằng $\mathfrak{S}$ là một bornology thích nghi với $E$ (III, p. 3, định nghĩa 4). Để $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}} (E ; F)$ là mêtric hóa được, điều kiện cần và đủ là $F$ là mêtric hóa được và tồn tại một cơ sở đếm được (III, p. 1) cho bornology $\mathfrak{S}$. Để $\mathfrak{S}$-tôpô trên $\mathscr{L}(E ; F)$ được xác định bởi một chuẩn duy nhất, điều kiện cần và đủ là tôpô của $F$ có thể được xác định bởi một chuẩn duy nhất và tồn tại một tập hợp $M \in \mathfrak{S}$ hấp thụ mọi tập hợp của $\mathfrak{S}$.