Exercice 3, § 3

Soit $E$ un espace vectoriel topologique sur $\mathbf{R}$ (resp. $\mathbf{C}$). Montrer que, pour tout ensemble $\mathfrak{S}$ de parties bornées de $\mathbf{R}$ (resp. $\mathbf{C}$) non réduit à $\{0\}$, l’espace $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}}(\mathbf{R} ; E)$ (resp. $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}}(\mathbf{C} ; E)$) est canoniquement isomorphe à $E$. En déduire que, pour tout entier $n > 0$ et tout recouvrement $\mathfrak{S}$ de $\mathbf{R}^n$ (resp. $\mathbf{C}^n$) par des parties bornées, $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}}(\mathbf{R}^n ; E)$ (resp. $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}}(\mathbf{C}^n ; E)$) est isomorphe à $E^n$.