Exercice 4, § 3

a) Soient $E_1$, $E_2$, $F$ trois espaces vectoriels topologiques (sur $\mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$), $f$ une application linéaire continue de $E_1$ dans $E_2$, $\mathfrak{S}_1$ (resp. $\mathfrak{S}_2$) un ensemble de parties bornées de $E_1$ (resp. $E_2$), tels que $f(\mathscr{S}_1) \subset \mathscr{S}_2$. Montrer que $u \mapsto u \circ f$ est une application linéaire continue de $\mathscr{L}_{\mathscr{S}_2}(E_2 ; F)$ dans $\mathscr{L}_{\mathscr{S}_1}(E_1 ; F)$. b) Soient E, F deux espaces vectoriels topologiques, M un sous-espace vectoriel de E, $f$ l’application canonique de E sur E/M, $\mathscr{S}$ un ensemble de parties bornées de E. Montrer que l’application $u \mapsto u \circ f$ est un isomorphisme de $\mathscr{L}_{f(\mathscr{S})}(E/M ; F)$ sur le sous-espace de $\mathscr{L}_{\mathscr{S}}(E ; F)$ formé des applications linéaires continues de E dans F qui s’annulent dans M.