Bài tập 4, § 3

a) Cho $E_1, E_2, F$ là ba không gian vectơ tôpô (trên $\mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$). Cho $f$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ $E_1$ vào $E_2$, và $\mathfrak{S}_1$ (tương ứng $\mathfrak{S}_2$) là một họ các tập bị chặn của $E_1$ (tương ứng $E_2$), sao cho $f(\mathfrak{S}_1) \subset \mathfrak{S}_2$. Chứng minh rằng $u \mapsto u \circ f$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}_2}(E_2 ; F)$ vào $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}_1}(E_1 ; F)$. b) Cho $E, F$ là hai không gian vectơ tôpô, và $M$ là một không gian con vectơ của $E$. Cho $f$ là ánh xạ chính tắc từ $E$ lên $E/M$, và $\mathfrak{S}$ là một họ các tập bị chặn của $E$. Chứng minh rằng ánh xạ $u \mapsto u \circ f$ là một đẳng cấu từ $\mathscr{L}_{f(\mathfrak{S})}(E/M ; F)$ lên không gian con của $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}}(E ; F)$ gồm các ánh xạ tuyến tính liên tục từ $E$ vào $F$ triệt tiêu trên $M$.