Exercice 5, § 3

Soient $(E_\alpha)_{\alpha \in A}$ une famille d’espaces localement convexes, E un espace vectoriel (sur le même corps des scalaires que les $E_\alpha$), et pour chaque $\alpha \in A$, soit $h_\alpha$ une application linéaire de $E_\alpha$ dans E. On munit E de la topologie localement convexe la plus fine rendant continues les $h_\alpha$ (II, p. 29). Pour tout $\alpha \in A$, soit $\mathscr{S}_\alpha$ un ensemble de parties bornées de $E_\alpha$, et soit $\mathscr{S}$ la réunion des ensembles $h_\alpha(\mathscr{S}_\alpha)$ de parties bornées de E. Dans ces conditions, montrer que, pour tout espace localement convexe F, la $\mathscr{S}$-topologie sur $\mathscr{L}(E ; F)$ est la topologie la moins fine rendant continues les applications linéaires $u \mapsto u \circ h_\alpha$ de $\mathscr{L}(E ; F)$ dans $\mathscr{L}_{\mathscr{S}_\alpha}(E_\alpha ; F)$. En particulier, si E est la somme directe topologique (II, p. 32, déf. 2) de la famille $(E_\alpha)_{\alpha \in A}$ (chacun des $E_\alpha$ étant identifié à un sous-espace de E), l’espace produit $\prod_{\alpha \in A} \mathscr{L}_{\mathscr{S}_\alpha}(E_\alpha ; F)$ est canoniquement isomorphe à l’espace $\mathscr{L}_{\mathscr{S}}(E ; F)$, où $\mathscr{S}$ est la réunion des $\mathscr{S}_\alpha$ dans $\mathfrak{P}(E)$.