Bài tập 5, § 3

Cho $(E_\alpha)_{\alpha \in A}$ là một họ các không gian lồi địa phương, $E$ là một không gian vectơ (trên cùng trường vô hướng như $E_\alpha$), và với mỗi $\alpha \in A$, cho $h_\alpha$ là một ánh xạ tuyến tính từ $E_\alpha$ vào $E$. Không gian $E$ được trang bị tôpô lồi địa phương mịn nhất sao cho các $h_\alpha$ liên tục (II, p. 27). Với mỗi $\alpha \in A$, cho $\mathfrak{S}_\alpha$ là một họ các tập con bị chặn của $E_\alpha$, và cho $\mathfrak{S}$ là hợp của các họ $h_\alpha(\mathfrak{S}_\alpha)$ của các tập con bị chặn của $E$. Với các điều kiện này, hãy chứng minh rằng, với mọi không gian lồi địa phương $F$, tôpô $\mathfrak{S}$ trên $\mathscr{L}(E; F)$ là tôpô thô nhất sao cho các ánh xạ tuyến tính $u \mapsto u \circ h_\alpha$ từ $\mathscr{L}(E; F)$ vào $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}_\alpha}(E_\alpha; F)$ là liên tục. Đặc biệt, nếu $E$ là tổng trực tiếp tôpô (II, p. 29, def. 2) của họ $(E_\alpha)_{\alpha \in A}$ (mỗi $E_\alpha$ được đồng nhất với một không gian con của $E$), thì không gian tích $\prod_{\alpha \in A} \mathscr{L}_{\mathfrak{S}_\alpha}(E_\alpha; F)$ là đẳng cấu chính tắc với không gian $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}}(E; F)$, trong đó $\mathfrak{S}$ là hợp của các $\mathfrak{S}_\alpha$ trong $\mathfrak{B}(E)$.