Exercice 8, § 3

Soient E un espace vectoriel topologique, $\mathscr{S}$ un ensemble de parties bornées de E, $(G_i)_{i \in I}$ une famille d’espaces vectoriels topologiques, F un espace vectoriel (sur le même corps des scalaires que E et les $G_i$) ; pour chaque $i \in I$, soit $g_i$ une application linéaire de F dans $G_i$. On munit F de la topologie la moins fine rendant continues les $g_i$. Montrer que la $\mathscr{S}$-topologie sur $\mathscr{L}(E ; F)$ est la topologie la moins fine rendant continues les applications linéaires $u \mapsto g_i \circ u$ de $\mathscr{L}(E ; F)$ dans $\mathscr{L}_{\mathscr{S}}(E ; G_i)$. En particulier, si $F = \prod_{i \in I} G_i$, l’espace produit $\prod_{i \in I} \mathscr{L}_{\mathscr{S}}(E ; G_i)$ s’identifie canoniquement à $\mathscr{L}_{\mathscr{S}}(E ; F)$.