Bài tập 8, § 3

Cho $E$ là một không gian vectơ tôpô, với một tập hợp các tập con bị chặn của $\mathfrak{S}$. Cho $(G_i)_{i \in I}$ là một họ các không gian vectơ tôpô, và $F$ là một không gian vectơ (trên cùng một trường vô hướng như $E$ và các $G_i$); với mọi $i \in I$, cho $g_i$ là một ánh xạ tuyến tính từ $F$ vào $G_i$. Giả sử $F$ được trang bị tôpô thô nhất sao cho các $g_i$ là liên tục. Chứng minh rằng tôpô $\mathfrak{S}$ trên $\mathscr{L}(E; F)$ là tôpô thô nhất sao cho các ánh xạ tuyến tính $u \mapsto g_i \circ u$ từ $\mathscr{L}(E; F)$ vào $\mathscr{L}(E; G_i)$ là liên tục. Đặc biệt, nếu $F = \prod_{i \in I} G_i$, không gian tích $\prod_{i \in I} \mathscr{L}(E; G_i)$ được đồng nhất một cách chính tắc với $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}}(E; F)$.