Exercice 1, § 6

On appelle exhaustion d’un espace localement convexe séparé E la donnée d’un crible $C = (C_n, p_n)_{n \geqslant 0}$ (TG, IX, p. 63, déf. 8) et, pour chaque $n \geqslant 0$, d’une application $\varphi_n$ de $C_n$ dans l’ensemble des parties convexes et équilibrées de E, ayant les propriétés suivantes : E1) E est réunion des $\varphi_0(c)$, où $c$ parcourt $C_0$; E2) pour tout $n$ et tout $c \in C_n$, $\varphi_n(c)$ est réunion des $\varphi_{n+1}(c')$, où $c'$ parcourt $p_n^{-1}(c)$; E3) pour toute suite $(c_k)_{k \geqslant 0}$ telle que $c_k \in C_k$, et $c_k = p_k(c_{k+1})$ pour tout $k \geqslant 0$, il existe une suite $(\rho_k)$ de nombres $> 0$ telle que, pour toute suite $(x_k)$ de points de E telle que $x_k \in \varphi_k(c_k)$ et toute suite $(\lambda_k)$ de nombres réels telle que $0 \leqslant \lambda_k \leqslant \rho_k$ pour tout $k$, la série $\sum_{k=0}^\infty \lambda_k x_k$ soit convergente dans E. a) Sous les hypothèses précédentes, montrer que si de plus les $\varphi_n(c)$ sont fermés pour $c \in C_n$, on peut supposer les $\rho_k$ choisis de telle sorte que l’on ait en outre $\sum_{k=m}^\infty \lambda_k x_k \in \varphi_m(c_m)$ pour tout $m \geqslant 1$ (prendre les $\rho_k$ tels que $\sum_{k=0}^\infty \rho_k \leqslant 1$). b) On suppose donnés un crible C et une suite $(\varphi_n)$ d’applications dans l’ensemble des parties convexes et équilibrées de E, vérifiant E1), E2) et la condition suivante : E 3’) pour toute suite $(c_k)_{k \geqslant 0}$ telle que $c_k = p_k(c_{k+1})$ pour tout $k \geqslant 0$, il existe une suite $(\mu_k)$ de nombres $> 0$ telle que, pour toute suite $(x_k)$ de points de E telle que $x_k \in \varphi_k(c_k)$ pour tout $k$, la suite des points $(\mu_k x_k)$ est contenue dans un ensemble convexe, borné, équilibré et semi-complet dans $E$.

Montrer qu’alors la condition E3) est aussi vérifiée (prendre $\rho_k = 2^{-k} \mu_k$).

On dit qu’un espace localement convexe séparé $E$ est exhaustible s’il existe une exhaustion de $E$.