Bài tập 1, § 6

Một không gian lồi địa phương Hausdorff được cho là có một sự vét cạn bởi một sàng lọc $C = (C_n, p_n)_{k \geq 0}$ (GT, IX, § 6, No. 5, def. 8) và, với mọi $n \geq 0$, một ánh xạ $\rho_n$ từ $C_n$ vào tập hợp tất cả các tập con lồi và cân bằng của $E$ có các tính chất sau: E1) $E$ là hợp của các $\phi_0(c)$ khi $c$ chạy qua $C_0$; E2) với mọi $n$ và mọi $c \in C_n$, $\phi_n(c)$ là hợp của các $\phi_{n+1}(c')$ khi $c'$ chạy qua $p_n^{-1}(c)$; E3) với mọi dãy $(c_k)_{k \geq 0}$ sao cho $c_k \in C_k$ và $c_k = p_k(c_{k+1})$ với mọi $k \geq 0$, tồn tại một dãy $(\phi_k)$ các số $> 0$ sao cho, với mọi dãy $(x_k)$ các điểm của $E$ sao cho $x_k \in \phi_k(c_k)$ và mọi dãy $(\lambda_k)$ các số thực thỏa mãn $0 \leq \lambda_k \leq \rho_k$ với mọi $k$, chuỗi $\sum_{k=0}^\infty \lambda_k x_k$ là hội tụ trong $E$. a) Dưới các giả thiết trên, chứng minh rằng nếu thêm nữa các $\phi_n(c)$ là đóng với $c \in C_n$, thì ta có thể giả sử rằng các $\rho_k$ đã được chọn sao cho ta có $\sum_{k=m}^\infty \lambda_k x_k \in \phi_m(c_m)$ với mọi $m \geq 1$ (chọn các $\rho_k$ sao cho $\sum_{k=0}^\infty \rho_k \leq 1$). b) Giả sử rằng ta được cho một sàng lọc $C$ và dãy $(\phi_n)$ các ánh xạ vào tập hợp các tập con lồi và cân bằng của $E$ thỏa mãn E1), E2) và điều kiện sau: E3') với mọi dãy $(c_k)_{k \geq 0}$ sao cho $c_k = p_k(c_{k+1})$ với mọi $k \geq 0$, tồn tại một dãy $(\mu_k)$ các số $> 0$ sao cho, với mọi dãy $(x_k)$ các điểm của $E$ với $x_k \in \phi_k(c_k)$ với mọi $k$, dãy các điểm $(\mu_k x_k)$ được chứa trong một tập hợp lồi, bị chặn, cân bằng và nửa đầy đủ trong $E$. Chứng minh rằng khi đó điều kiện E3) cũng được thỏa mãn (lấy $\rho_k = 2^{-k} \mu_k$). Một không gian lồi địa phương Hausdorff được gọi là có thể vét cạn nếu tồn tại một sự vét cạn của $E$.