Exercice 5, § 6

Soit $(C^{(m)})_{m \geq 0}$ une suite de cribles $C^{(m)} = (C_n^{(m)}, p_n^{(m)})_{n \geq 0}$. Pour tout $n \geq 0$, on pose

où $a_m = 0$ pour tout $m \geq 0$; l’application $p_n : D_{n+1} \to D_n$ est prise égale à où $q^{(n+1)}$ est l’unique application de $C_0^{(n+1)}$ sur $\{0\}$, et $\mathrm{id}_m$ l’application identique de $\{a_m\}$. Alors $(D_n, p_n)$ est un crible.

Soit $(E^{(m)})_{m \geq 0}$ une suite d’espaces localement convexes séparés; on suppose que pour chaque $m$ il existe une exhaustion $(C_n^{(m)}, p_n^{(m)}, \varphi_n^{(m)})_{n \geq 0}$ de $E^{(m)}$. On considère l’espace localement convexe séparé $E = \prod_m E^{(m)}$, et pour tout $n$, on pose

où $\psi_m$ est l’application de $\{a_m\}$ dans l’ensemble des parties convexes et équilibrées de $E^{(m)}$ telle que $\psi_m(a_m) = E^{(m)}$. Montrer que $(D_n, p_n, \varphi_n)$ est une exhaustion sur l’espace produit $E$.