Bài tập 5, § 6

Cho $(C^{(m)})_{m \geq 0}$ là một dãy các lưới $C^{(m)} = (C_n^{(m)}, p_n^{(m)})_{n \geq 0}$. Với mọi $n \geq 0$, đặt

trong đó $a_m = 0$ với mọi $m \geq 0$; ánh xạ $p_n : D_{n+1} \to D_n$ được lấy bằng trong đó $q^{(n+1)}$ là ánh xạ duy nhất từ $C_0^{(n+1)}$ lên $\{0\}$, và $\mathrm{id}_m$ là ánh xạ đồng nhất của $\{a_m\}$. Khi đó $(D_n, p_n)$ là một lưới.

Cho $(E^{(m)})_{m \geq 0}$ là một dãy các không gian lồi địa phương Hausdorff; ta giả sử rằng với mỗi $m$ tồn tại một khai triển $(C_n^{(m)}, p_n^{(m)}, \phi_n^{(m)})_{n \geq 0}$ của $E^{(m)}$. Xét không gian lồi địa phương Hausdorff $E = \prod_m E^{(m)}$, và với mọi $n$, đặt

trong đó $\psi_m$ là ánh xạ từ $\{a_m\}$ vào tập hợp các tập con lồi và cân bằng của $E^{(m)}$ sao cho $\psi_n(a_m) = E^{(m)}$. Chứng minh rằng $(D_n, p_n, \phi_n)$ là một khai triển trên không gian tích $E$.