Exercice 4, Annexe 0

Soit G un groupe discret. On dit que G est moyennable s’il existe sur $\ell$_∞^∞(G) (I, p. 4) une forme linéaire u telle que u(x) ≥ 0 pour x ≥ 0, u(1) = 1, et telle que u(γ(s) x) = u(x) pour tout s ∈ G et tout x ∈ $\ell$_∞^∞(G) (où (γ(s) x)(t) = x(s^{-1}t) pour tout t ∈ G) (invariance par translations à gauche).

a) Si l’on pose $\tilde{x}(t) = x(t^{-1})$ pour $x \in \ell_\infty^\infty(G)$ et $t \in G$, et si la forme linéaire u est invariante par les translations à gauche, la forme linéaire $v : x \mapsto u(\tilde{x})$ est invariante par les translations à droite, autrement dit $v(\delta(s) x) = v(x)$ pour tout s ∈ G et tout $x \in \ell_\infty^\infty(G)$ (où $(\delta(s) x)(t) = x(ts)$ pour tout $t \in G$). Si l’on pose $F_x(s) = u(\delta(s) x)$ pour $s \in G$ et $x \in \ell_\infty^\infty(G)$, on a $F_{\gamma(t)x}(s) = F_x(s)$ et $F_{\delta(t)x}(s) = F_x(st)$ pour tout $t \in G$; en déduire que la forme linéaire w sur $\ell_\infty^\infty(G)$ définie par $w(x) = v(F_x)$, est invariante par les translations à gauche et à droite, telle que $w(x) \geq 0$ pour $x \geq 0$ et que $w(1) = 1$.

\* b) Soient K un espace compact non vide et Γ un sous-groupe du groupe des homéomorphismes de K sur lui-même. Montrer que si Γ est moyennable, il existe une mesure μ ≥ 0 sur K, de masse 1, invariante par Γ. (Si a ∈ K, considérer l’application linéaire qui à toute fonction f réelle continue dans K associe la fonction $\sigma \mapsto f(\sigma(a))$ appartenant à $\ell_\infty^\infty(\Gamma)$.)

c) Soient E un espace vectoriel topologique séparé sur R, et K une partie convexe compacte non vide de E. Soit Γ un groupe de transformations affines continues de K sur lui-même. Montrer que si Γ est moyennable, il existe un point b ∈ K tel que $\sigma(b) = b$ pour tout $\sigma \in \Gamma$. (Utiliser b) et considérer le barycentre de μ).

d) Montrer que, pour qu’un groupe discret G soit moyennable, il faut et il suffit que pour tout espace compact K non vide sur lequel G opère continûment, il existe une mesure non nulle invariante par G. (Si E = $\mathscr{H}(G)$, considérer dans $E' = \ell_1^1(G)$ la boule unité B, munie de $\sigma(E', E)$, et faire correspondre à tout élément $x \in \ell_\infty^\infty(G) = E''$ sa restriction à B.) Si G est dénombrable, il suffit que la propriété précédente ait lieu pour tout espace compact métrisable K. \*