Bài tập 4, Phụ lục 0

Cho G là một nhóm rời rạc. Ta nói rằng G là một nhóm trên đó có thể xác định được một trung bình nếu tồn tại một dạng tuyến tính u trên $\ell^\infty_\mathbf{R}(G)$ (I, p. 4) sao cho $u(x) \geq 0$ với $x \geq 0$, $u(1) = 1$, và sao cho $u(\gamma(s)x) = u(x)$ với mọi $s \in G$ và mọi $x \in \ell^\infty_\mathbf{R}(G)$ (trong đó $(\gamma(s)x)(t) = x(s^{-1}t)$ với mọi $t \in G$) (bất biến dưới các phép tịnh tiến trái). a) Nếu ta đặt $\tilde{x} = x(t^{-1})$ với $x \in \ell^\infty_\mathbf{R}(G)$ và $t \in G$, và nếu dạng tuyến tính u là bất biến dưới các phép tịnh tiến trái, thì dạng tuyến tính $v : x \mapsto u(\tilde{x})$ là bất biến dưới các phép tịnh tiến phải, nói cách khác $v(\delta(s)x) = v(x)$ với mọi $s \in G$ và với mọi $x \in \ell^\infty_\mathbf{R}(G)$ (trong đó $(\delta(s)x)(t) = x(ts)$ với mọi $t \in G$). Đặt $F_x(s) = u(\delta(s)x)$ với $s \in G$ và $x \in \ell^\infty_\mathbf{R}(G)$, khi đó $F_{\gamma(t)x}(s) = F_x(s)$ và $F_{\delta(t)x}(s) = F_x(st)$ với mọi $t \in G$; suy ra rằng dạng tuyến tính w trên $\ell^\infty_\mathbf{R}(G)$ được xác định bởi $w(x) = v(F_x)$ là bất biến dưới các phép tịnh tiến trái và phải, và thỏa mãn $w(x) \geq 0$ với $x \geq 0$ và $w(1) = 1$. \* b) Cho K là một không gian compact khác rỗng và $\Gamma$ là một nhóm con của nhóm tất cả các đồng phôi từ K lên chính nó. Chứng minh rằng nếu có thể xác định được một trung bình trên $\Gamma$, thì tồn tại một độ đo $\mu \geq 0$ trên K có khối lượng 1, bất biến dưới $\Gamma$. (Nếu $a \in K$, xét ánh xạ tuyến tính

EXERCISES

mà gán cho mỗi hàm thực liên tục $f$ trong $K$, hàm $\sigma \mapsto f(\sigma(a))$ thuộc $\ell^\infty_\mathbf{R}(\Gamma)$.) c) Cho $E$ là một không gian vectơ tôpô Hausdorff trên $\mathbf{R}$, và $K$ là một tập con lồi compact không rỗng của $E$. Cho $\Gamma$ là một nhóm các phép biến đổi affine liên tục từ $K$ lên chính nó. Chứng minh rằng nếu có thể xác định một độ đo trung bình trên $\Gamma$, thì tồn tại một điểm $b \in K$ sao cho $\sigma(b) = b$ với mọi $\sigma \in \Gamma$. (Sử dụng $b$ và xét trọng tâm của $\mu$.) d) Chứng minh rằng một độ đo trung bình có thể được xác định trên một nhóm rời rạc $G$ khi và chỉ khi tồn tại một độ đo không tầm thường $\mu$ bất biến dưới tác động của $G$, trên mọi không gian compact không rỗng $K$ mà $G$ tác động liên tục. (Nếu $E = \overline{\mathscr{K}(G)}$, xét quả cầu đơn vị $B$ trong $E' = \ell^1_\mathbf{R}(G)$, được trang bị bởi $\sigma(E', E)$, và gán cho mỗi phần tử $x \in \ell^\infty_\mathbf{R}(G) = E''$ hạn chế của nó trên $B$.) Nếu $G$ là đếm được, chỉ cần tính chất trên đúng với mọi $K$ compact mêtric hóa được. \*