Exercice 6, Annexe 0

Soit S un ensemble sur lequel opère à gauche un groupe $\Gamma$ (A, I, p. 50). Soit E l’espace vectoriel réel $\beta(S)$ des fonctions numériques bornées dans S (I, p. 4, Exemple). On suppose que le groupe $\Gamma$ (muni de la topologie discrète) possède une moyenne invariante à gauche, et l’on fait opérer $\Gamma$ sur E de sorte qu’on ait $sf(x) = f(s^{-1}x)$ pour $s \in \Gamma$, $f \in E$ et $x \in S$.

Soit $g \in E$ une fonction positive ; soit $E_1$ le sous-espace vectoriel de E engendré par les fonctions $sg$, où $s$ parcourt $\Gamma$; soit $E_2$ le sous-espace vectoriel de E engendré par les fonctions positives qui sont majorées par des fonctions de $E_1$.

Montrer que s’il existe sur $E_1$ une forme linéaire positive non nulle $\varphi$, invariante par $\Gamma$, il existe une forme linéaire positive non nulle sur $E_2$, invariante par $\Gamma$. (En utilisant la prop. 1 de II, p. 22, construire d’abord une forme linéaire positive sur $E_2$ prolongeant $\varphi$ et faire opérer $\Gamma$ sur l’ensemble de ces prolongements). Cas où $g = 1$.