Bài tập 6, Phụ lục 0

Cho $S$ là một tập hợp trên đó một nhóm $\Gamma$ tác động bên trái (A, I, § 5, No. 1). Cho $E$ là không gian vectơ thực $\mathscr{B}(S)$ của tất cả các hàm số bị chặn trên $S$ (I, p. 4, Ví dụ). Giả sử rằng nhóm $\Gamma$ (được trang bị tôpô rời rạc) có một trung bình bất biến trái, và cho $\Gamma$ tác động lên $E$ theo cách sao cho $sf(x) = f(s^{-1}x)$ với mọi $s \in \Gamma$, $f \in E$ và $x \in S$.

Cho $g \in E$ là một hàm dương; cho $E_1$ là không gian con vectơ của $E$ sinh bởi các hàm $sg$, trong đó $s$ chạy qua $\Gamma$; cho $E_2$ là không gian con vectơ của $E$ sinh bởi các hàm dương bị chặn bởi các hàm của $E_1$.

Chứng minh rằng nếu tồn tại một dạng tuyến tính dương không triệt tiêu $\phi$ trên $E_1$, bất biến dưới $\Gamma$, thì tồn tại một dạng tuyến tính dương không triệt tiêu trên $E_2$, bất biến dưới $\Gamma$. (Dùng Mệnh đề 1 của II, p. 21, trước hết xây dựng một dạng tuyến tính dương trên $E_2$, mở rộng $\phi$, và cho $\Gamma$ tác động lên tập hợp các mở rộng này). Đặc biệt xét trường hợp trong đó $g = 1$.