Exercice 7, Annexe 0

a) Soit $\mathscr{B}$ l’ensemble des parties bornées du plan numérique $\mathbf{R}^2$ et soit $\Gamma$ le groupe des déplacements de $\mathbf{R}^2$; soit C le carré $[0,1] \times [0,1]$. Montrer qu’il existe une fonction additive d’ensembles $\lambda$, positive et définie sur $\mathscr{B}$, qui soit invariante par $\Gamma$ et telle que $\lambda(C) = 1$ (appliquer l’exerc. 6 au cas où $g$ est la fonction caractéristique de C; on remarquera que $\Gamma$ est résoluble, donc admet une moyenne invariante (IV, p. 41, corollaire)). Si A est une partie bornée de $\mathbf{R}^2$, dont la frontière est négligeable pour la mesure de Lebesgue $\mu$ sur $\mathbf{R}^2$, on a $\lambda(A) = \mu(A)$ (pour tout $\varepsilon > 0$, il existe deux ensembles $A_1$ et $A_2$ tels que $A_1 \subset A \subset A_2$, $\mu(A_2 - A_1) < \varepsilon$, réunions d’un nombre fini de carrés).

b) Question analogue à a), où l’on prend pour $\mathscr{B}$ l’ensemble de toutes les parties de $\mathbf{R}^2$, pour $\Gamma$ le groupe des similitudes, et $C = \mathbf{R}^2$.