Bài tập 7, Phụ lục 0

(a) Cho $\mathfrak{B}$ là tập hợp các tập con bị chặn của mặt phẳng $\mathbf{R}^2$ và cho $\Gamma$ là nhóm các phép dời chỗ của $\mathbf{R}^2$; cho $C$ là hình vuông $[0, 1] \times [0, 1]$. Chứng minh rằng tồn tại một hàm tập hợp cộng tính dương $\lambda$ xác định trên $\mathfrak{B}$, bất biến dưới tác động của $\Gamma$ và thỏa mãn $\lambda(C) = 1$ (áp dụng bài tập 6 cho trường hợp $g$ là hàm đặc số của $C$; nhận xét rằng $\Gamma$ là giải được, do đó có một giá trị trung bình bất biến (IV, p. 41, hệ quả)). Nếu $A$ là một tập con bị chặn của $\mathbf{R}^2$, mà biên của nó là không đáng kể đối với độ đo Lebesgue $\mu$ trên $\mathbf{R}^2$, thì $\lambda(A) = \mu(A)$ (với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại hai tập hợp $A_1$ và $A_2$ sao cho $A_1 \subset A \subset A_2$, $\mu(A_2 - A_1) < \varepsilon$, và $A_1$ và $A_2$ là các hợp của một số hữu hạn các hình vuông). b) Xét cùng câu hỏi như trong a), lấy $\mathfrak{B}$ là tập hợp tất cả các tập con của $\mathbf{R}^2$, $\Gamma$ là nhóm các phép biến đổi đồng dạng và $C = \mathbf{R}^2$.