Exercice 11, § 1

Soient E un espace localement convexe séparé, E’ son dual, $\mathscr{S}$ un recouvrement de E formé de parties bornées ; on munit E’ de la $\mathscr{S}$-topologie. Montrer que, pour que la forme bilinéaire $(x, x’) \mapsto \langle x, x’ \rangle$ soit continue dans $E \times E’$, il faut et il suffit que la topologie de E puisse être définie par une seule norme, et que la $\mathscr{S}$-topologie soit la topologie forte sur E’ (cf. III, p. 38, exerc. 2).