Exercice 13, § 1

Soient F, G deux espaces vectoriels sur $\mathbf{R}$ en dualité séparante. a) Soit A un ensemble convexe dans F, ne contenant pas l’origine, compact pour la topologie σ(F, G) ; soit C le cône convexe de sommet 0 engendré par A. Montrer que le cône polaire $C^\circ$ dans G possède un point intérieur pour la topologie τ(G, F). b) Réciproquement, soit C un cône convexe saillant dans F, de sommet 0, fermé pour σ(F, G) et ayant un point intérieur pour la topologie τ(F, G). Montrer qu’il existe dans G un hyperplan H fermé pour σ(G, F), ne contenant pas l’origine, tel que $H \cap C^\circ$ soit compact pour σ(G, F) et que $(H \cap C^\circ) \cup \{0\}$ engendre $C^\circ$.