Bài tập 13, § 1

Cho $F$ và $G$ là hai không gian vectơ trên $\mathbf{R}$ ở trong đối ngẫu phân ly. a) Cho $A$ là một tập hợp lồi trong $F$, không chứa điểm gốc, và compact đối với tôpô $\sigma(F, G)$; cho $C$ là nón lồi có đỉnh 0 sinh bởi $A$. Chứng minh rằng nón đối cực $C^\circ$ trong $G$ có một điểm trong đối với tôpô $\tau(G, F)$: b) Ngược lại, cho $C$ là một nón lồi thực sự có đỉnh 0, đóng đối với $\sigma(F, G)$ và có một điểm trong đối với tôpô $\tau(F, G)$. Chứng minh rằng trong $G$ tồn tại một siêu phẳng $H$, đóng đối với $\sigma(G, F)$, không chứa điểm gốc, sao cho $H \cap C^\circ$ là compact đối với $\sigma(G, F)$ và $(H \cap C^\circ) \cup \{0\}$ sinh $C^\circ$.