Exercice 24, § 1

Soient $(E_\alpha)_{\alpha \in A}$ une famille d’espaces localement convexes séparés, $E$ un espace vectoriel, et pour tout $\alpha \in A$, soit $f_\alpha$ une application linéaire de $E_\alpha$ dans $E$. On considère sur $E$ la topologie localement convexe la plus fine $\mathscr{T}$ rendant continues les $f_\alpha$ (II, p. 29); on suppose $\mathscr{T}$ séparée et on désigne par $E'_\alpha$ le dual de $E_\alpha$, par $E'$ le dual de $E$ muni de $\mathscr{T}$. Montrer que si, pour tout $\alpha \in A$, la topologie de $E_\alpha$ est identique à $\tau(E_\alpha, E'_\alpha)$, la topologie $\mathscr{T}$ est identique à $\tau(E, E')$.