Exercice 8, § 1

Soient E un espace localement convexe métrisable de dimension infinie, E’ son dual. Pour que la topologie τ(E, E’) soit identique à la topologie affaiblie σ(E, E’), il faut et il suffit que E soit isomorphe à un sous-espace partout dense de l’espace produit $\mathbf{R}^N$ (resp. $\mathbf{C}^N$). (Remarquer que dans E’, pour la bornologie formée des parties équicontinues, il existe une base (III, p. 1) dénombrable et formée d’ensembles de dimension finie ; en conclure que l’espace vectoriel E’ a une base dénombrable.) Donner un exemple d’espace localement convexe séparé E pour lequel la topologie initiale et les topologies σ(E, E’) et τ(E, E’) soient trois topologies distinctes.