Bài tập 8, § 1

Cho $E$ là một không gian lồi địa phương mêtric hóa vô hạn chiều, và $E'$ là không gian đối ngẫu của nó. Để tôpô $\tau(E, E')$ trùng với tôpô yếu $\sigma(E, E')$ thì điều kiện cần và đủ là $E$ đẳng cấu với một không gian con trù mật khắp nơi của không gian tích $\mathbf{R}^N$ (tương ứng $\mathbf{C}^N$). (Nhận xét rằng trong $E'$, đối với bornôlôgồm các tập hợp liên tục đều, tồn tại một cơ sở đếm được (III, p. 1) gồm các tập hợp hữu hạn chiều; kết luận rằng không gian vectơ $E'$ có một cơ sở đếm được).

Cho một ví dụ về một không gian lồi địa phương Hausdorff $E$ mà đối với nó tôpô ban đầu, và các tôpô $\sigma(E, E')$ và $\tau(E, E')$ đều phân biệt.