Exercice 9, § 1

a) Soit E un espace localement convexe séparé, bornologique et quasi-complet. Pour que, sur le dual E’ de E, les topologies τ(E’, E) et σ(E’, E) soient identiques, il faut et il suffit que la topologie de E soit la topologie localement convexe la plus fine (montrer que toute partie bornée de E est de dimension finie). b) Soient E un espace localement convexe séparé, E’ son dual. Pour que sur E’, la topologie forte β(E’, E) soit identique à la topologie faible σ(E’, E), il faut et il suffit que la topologie de l’espace bornologique associé à E (III, p. 41, exerc. 1) soit la topologie localement convexe la plus fine sur E.