Exercice 13, § 3

a) Soient E, F deux espaces de Fréchet, G un espace localement convexe séparé, E', F', G' les duals de E, F, G respectivement. Soit $u$ une application bilinéaire de $E' \times F'$ dans $G'$, qui est séparément continue (III, p. 28) lorsqu'on munit $E'$, $F'$, $G'$ des topologies faibles $\sigma(E', E)$, $\sigma(F', F)$ et $\sigma(G', G)$. Montrer que, dans ces conditions, $u$ est une application continue de $E' \times F'$ dans $G'$ lorsque $E'$, $F'$ et $G'$ sont munis des topologies fortes. (Si, pour $z \in G$, on pose $\langle z, u(x', y') \rangle = \langle v_z(x'), y' \rangle$, où $v_z(x') \in F$, montrer d'abord que lorsque $z$ parcourt un ensemble borné C de G, l'ensemble des $v_z$ est équicontinu lorsque $E'$ est muni de la topologie forte et F de la topologie initiale ; on utilisera pour cela IV, p. 51, exerc. 19, d). Montrer ensuite qu'il existe dans $E'$ un voisinage V' de 0 pour la topologie forte tel que lorsque $z$ parcourt C, la réunion des ensembles $v_z(V')$ soit bornée dans F ; utiliser pour cela III, p. 48, exerc. 5.) b) Donner un exemple mettant en défaut la conclusion de a), lorsque l'on suppose que E est un espace de Fréchet et F une limite inductive stricte d'espaces de Fréchet (III, p. 48, exerc. 3).