Bài tập 13, § 3

a) Cho E, F là hai không gian Fréchet, G là một không gian lồi địa phương tách được, E', F', G' lần lượt là các đối ngẫu của E, F, G. Cho $u$ là một ánh xạ song tuyến tính từ $E' \times F'$ vào $G'$, liên tục riêng biệt (III, p. 28) khi $E'$, $F'$, $G'$ được trang bị các tôpô yếu $\sigma(E', E)$, $\sigma(F', F)$ và $\sigma(G', G)$. Chứng minh rằng, dưới các điều kiện này, $u$ là một ánh xạ liên tục từ $E' \times F'$ vào $G'$ khi $E'$, $F'$ và $G'$ được trang bị các tôpô mạnh. (Nếu, với $z \in G$, đặt $\langle z, u(x', y') \rangle = \langle v_z(x'), y' \rangle$, trong đó $v_z(x') \in F$, trước hết chứng minh rằng khi $z$ chạy qua một tập hợp bị chặn C của G, tập hợp các $v_z$ là đẳng liên tục khi $E'$ được trang bị tôpô mạnh và F với tôpô ban đầu; để làm điều này sẽ sử dụng IV, p. 51, Exer. 19, d). Sau đó chứng minh rằng tồn tại trong $E'$ một lân cận V' của 0 đối với tôpô mạnh sao cho khi $z$ chạy qua C, hợp của các tập hợp $v_z(V')$ là bị chặn trong F; dùng cho điều này III, p. 48, Exer. 5.) b) Cho một ví dụ chứng minh rằng kết luận của a) không còn đúng khi giả sử rằng E là một không gian Fréchet và F là một giới hạn quy nạp ngặt của các không gian Fréchet (III, p. 48, Exer. 3).