Exercice 17, § 3

a) Soit E un espace localement convexe séparé, tel que la bornologie formée des ensembles relativement compacts de E admette une base (III, p. 1) dénombrable $(A_n)$. Montrer que $(A_n)$ est aussi une base de la bornologie canonique (III, p. 3, déf. 5). (Soit $C_n$ l'ensemble relativement compact somme de $n$ ensembles égaux à $A_n$; alors $(C_n)$ est aussi une base de la bornologie des ensembles relativement compacts. Raisonnner par l'absurde en considérant un ensemble borné B qui n'est contenu dans aucun des $C_n$, et en conclure qu'il existe une suite $(x_n)$ de points de B telle que $x_n / n \notin A_n$; en déduire une contradiction.) L'espace E est alors semi-réflexif et l'enveloppe fermée convexe équilibrée de tout ensemble compact dans E est compacte. b) On suppose que E est infratonné et que pour une topologie $\mathscr{T}$ compatible avec la dualité entre E et $E'$, il existe une base dénombrable de la bornologie des parties de E relativement compactes pour $\mathscr{T}$. Montrer que E est alors un espace (DF) (IV, p. 58, exerc. 2) réflexif.

(Utiliser $a$), en remarquant que les ensembles bornés fermés dans E sont compacts pour $\mathscr{T}$, et par suite complets pour la topologie initiale de E, ce qui entraîne que E est tonnelé). Si $\mathscr{T}$ est la topologie initiale, E est un espace de Montel.