Bài tập 17, § 3

a) Cho E là một không gian lồi địa phương tách được, sao cho bornology được tạo bởi các tập compact tương đối của E có một cơ sở đếm được (III, p. 1) $(A_n)$. Bây giờ chứng minh rằng $(A_n)$ cũng là một cơ sở của bornology chính tắc (III, p. 3, déf. 5). (Gọi $C_n$ là tập compact tương đối là tổng của $n$ tập hợp bằng $A_n$; khi đó $(C_n)$ cũng là một cơ sở của bornology của các tập compact tương đối. Lập luận bằng phản chứng bằng cách xét một tập bị chặn B được chứa trong không một $C_n$ nào, và kết luận rằng tồn tại một dãy $(x_n)$ các điểm của B sao cho $x_n / n \notin A_n$; suy ra một mâu thuẫn.) Khi đó không gian E là nửa phản xạ và bao lồi đóng cân bằng của mọi tập compact trong E là compact. b) Giả sử rằng E là infratonné và rằng đối với một tôpô $\mathscr{T}$ tương thích với đối ngẫu giữa E và $E'$, tồn tại một cơ sở đếm được của bornology của các tập con compact tương đối của E đối với $\mathscr{T}$. Bây giờ chứng minh rằng E là một không gian phản xạ (DF) (IV, p. 58, exerc. 2).

(Sử dụng $a$), bằng cách nhận thấy rằng các tập hợp đóng bị chặn trong E là compact đối với $\mathscr{T}$, và do đó đầy đủ đối với tôpô ban đầu của E, điều này kéo theo rằng E là tonnelé). Nếu $\mathscr{T}$ là tôpô ban đầu, E là một không gian Montel.