Exercice 18, § 3

a) Soit E un espace localement convexe séparé, et soit $(A_n)$ une suite croissante d'ensembles convexes, équilibrés, compacts pour la topologie affaiblie $\sigma(E, E')$, telle que la réunion des $A_n$ soit E, et que pour tout entier $n$ et tout $\lambda > 0$, il existe $m$ tel que $\lambda A_n \subset A_m$. Montrer que $(A_n)$ est une base pour la bornologie formée des ensembles convexes et relativement compacts pour $\sigma(E, E')$. (Observer que sur $E'$ la topologie de la convergence uniforme dans les $A_n$ est $\tau(E', E)$.) b) Si E est tonnelé et s'il existe une suite $(A_n)$ ayant les propriétés de $a$), E est un espace (DF) réflexif. (Observer que $E'$, muni de $\tau(E', E)$ est métrisable et que la topologie de E est $\beta(E, E')$.)