Bài tập 18, § 3

a) Cho E là một không gian lồi địa phương tách được, và cho $(A_n)$ là một dãy tăng các tập hợp lồi, cân bằng, compact đối với tôpô yếu hơn $\sigma(E, E')$, sao cho hợp của các $A_n$ là E, và sao cho với mọi số nguyên $n$ và mọi $\lambda > 0$, tồn tại $m$ sao cho $\lambda A_n \subset A_m$. Chứng minh rằng $(A_n)$ là một cơ sở của cấu trúc bornôlô tạo bởi các tập hợp lồi và tương đối compact đối với $\sigma(E, E')$. (Nhận xét rằng trên $E'$ tôpô của sự hội tụ đều trong các $A_n$ là $\tau(E', E)$.) b) Nếu E là thùng và nếu tồn tại một dãy $(A_n)$ có các tính chất của $a$), thì E là một không gian phản xạ (DF). (Nhận xét rằng $E'$, được trang bị $\tau(E', E)$ là mêtric hóa được và rằng tôpô của E là $\beta(E, E')$.)