Exercice 5, § 3

Pour tout entier $n > 0$, soit $a^{(n)}$ la suite double $(a^{(n)}_{pq})$ ($p \in \mathbf{N}, q \in \mathbf{N}$) telle que $a^{(n)}_{pq} = q$ si $p \leq n$ et $a^{(n)}_{pq} = 1$ si $p > n$. Soit E l’espace vectoriel des suites doubles $x = (x_{pq})_{(p,q) \in \mathbf{N} \times \mathbf{N}}$ de nombres réels telles que, pour tout entier $n > 0$, le nombre $r_n(x) = \sum_{p,q} a^{(n)}_{pq} |x_{pq}|$ soit fini.

Muni de la topologie définie par les semi-normes $r_n$, E est un espace de Fréchet de type dénombrable (IV, p. 47, exerc. 1, c)); le dual $E'$ de E peut être identifié à l’espace des suites doubles $x' = (x'_{pq})$ de nombres réels telles que, pour un indice $n$ au moins, il existe $k_n > 0$ tel que $|x'_{pq}| \leq k_n a^{(n)}_{pq}$ pour tout couple $(p, q)$, avec $\langle x, x' \rangle = \sum_{p,q} x_{pq} x'_{pq}$ (IV, p. 47, exerc. 1, c)).

Pour tout entier $p_0 > 0$ et toute suite $(m_p)$ de nombres entiers $> 0$, soit $J(p_0 ; (m_p))$ l’ensemble des couples d’entiers $p > 0, q > 0$ tels que $p \geq p_0$ et $q \geq m_p$; soit $\mathscr{B}$ la base de filtre sur $\mathbf{N} \times \mathbf{N}$ formée des ensembles $J(p_0 ; (m_p))$ et soit $\mathfrak{F}$ un ultrafiltre plus fin que le filtre de base $\mathscr{B}$. a) Montrer que pour tout $x' = (x'_{pq}) \in E'$, la suite double $(x'_{pq})$ a une limite $u(x')$ suivant l’ultrafiltre $\mathfrak{F}$; si $V_n$ est le voisinage de 0 dans E défini par $r_n(x) \leq 1$, on a $|u(x')| \leq 1$ pour tout $x' \in V_n^\circ$.

b) Soit U' un voisinage fort de 0 dans E', convexe, équilibré et faiblement fermé, et pour tout n, soit $\alpha_n > 0$ tel que $\alpha_n V_n^\circ \subset U'$. Pour tout entier $p > 0$, soit $m_p$ un entier tel que $2^{p+1} \leq \alpha_p m_p$, et soit $x' = (x'_{pq})$ la suite double telle que $x'_{pq} = 0$ pour $q < m_p$, $x'_{pq} = 2$ pour $q \geq m_p$. Montrer que $x' \in U'$ mais que $u(x') = 2$; en déduire que $u$ n'est pas fortement continue dans $E'$, tout en étant bornée dans toute partie bornée de $E'$. Conclure (IV, p. 58, exerc. 3) que $E$ n'est pas distingué, et par suite que le dual fort $E'_b$ est un espace (DF) non infratonnelé. c) Déduire de b) un exemple de sous-espace fermé M d'un espace de Fréchet F, tel que la topologie forte $\beta(F'/M^\circ, M)$ soit distincte de la topologie quotient par $M^\circ$ de la topologie forte $\beta(F', F)$ (plonger E dans un produit dénombrable d'espaces de Banach).