Bài tập 5, § 3

Với mọi số nguyên $n > 0$, gọi $a^{(n)}$ là dãy kép $(a_{pq}^{(n)})$ ($p \in \mathbf{N}, q \in \mathbf{N}$) sao cho $a_{pq}^{(n)} = q$ nếu $p \leq n$ và $a_{pq}^{(n)} = 1$ nếu $p > n$. Gọi E là không gian vectơ gồm tất cả các dãy kép $x = (x_{pq})_{(p,q) \in \mathbf{N} \times \mathbf{N}}$ của các số thực sao cho, với mọi số nguyên $n > 0$, số $r_n(x) = \sum_{p,q} a_{pq}^{(n)} |x_{pq}|$ là hữu hạn. Nếu E được trang bị tôpô xác định bởi các bán chuẩn $r_n$, thì E là một không gian Fréchet thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất (IV, p. 47, exerc. 1, c)); đối ngẫu E' của E có thể được đồng nhất với không gian gồm tất cả các dãy kép $x' = (x'_{pq})$ của các số thực sao cho với ít nhất một chỉ số $n$, tồn tại $k_n > 0$ sao cho $|x'_{pq}| \leq k_n a_{pq}^{(n)}$ với mọi cặp $(p, q)$; và $\langle x, x' \rangle = \sum_{p,q} x_{pq} x'_{pq}$ (IV, p. 47, exerc. 1, c)). Với mọi số nguyên $p_0 > 0$ và mọi dãy $(m_p)$ gồm các số nguyên $> 0$, gọi $J(p_0; (m_p))$ là tập hợp các cặp số nguyên $p > 0, q > 0$ sao cho $p \geq p_0$ và $q \geq m_p$; gọi $\mathscr{B}$ là cơ sở lọc trên $\mathbf{N} \times \mathbf{N}$ gồm các tập hợp $J(p_0; (m_p))$ và gọi $\mathfrak{F}$ là một siêu lọc mịn hơn lọc có cơ sở $\mathscr{B}$. a) Chứng minh rằng với mọi $x' = (x'_{pq}) \in E'$, dãy kép $(x'_{pq})$ có một giới hạn $u(x')$ đối với siêu lọc $\mathfrak{F}$; nếu $V_n$ là một lân cận của 0 trong E được xác định bởi $r_n(x) \leq 1$, thì $|u(x')| \leq 1$ với mọi $x' \in V_n^\circ$. b) Cho $U'$ là một lân cận của 0 trong $E'$, đối với tôpô mạnh, lồi, cân bằng và đóng yếu, và với mỗi $n$, cho $\alpha_n > 0$ sao cho $\alpha_n V_n^\circ \subset U'$. Với mọi số nguyên $p > 0$, gọi $m_p$ là một số nguyên sao cho $2^{p+1} \leq \alpha_p m_p$, và gọi $x' = (x'_{pq})$ là dãy kép với $x'_{pq} = 0$ với $q < m_p$, $x'_{pq} = 2$ với $q \geq m_p$. Chứng minh rằng $x' \in U'$ nhưng $u(x') = 2$; suy ra rằng $u$ không liên tục mạnh trong $E'$, trong khi bị chặn trên mọi tập con bị chặn của $E'$. Kết luận (IV, p. 58, exerc. 3) rằng E không phân biệt, và do đó đối ngẫu mạnh $E'_b$ là một không gian (DF) không infra-barrelled. c) Sử dụng b) xây dựng một ví dụ về một không gian con đóng M của một không gian Fréchet F sao cho tôpô mạnh $\beta(F'/M^\circ, M)$ là phân biệt với tôpô thương bởi $M^\circ$ của tôpô mạnh $\beta(F', F)$ (nhúng E vào một tích đếm được của các không gian Banach).